生き抜くための高校数学 part 6 「2.2 連立方程式と高次方程式」

ネットはズブの素人なのですが、この休日で、ブログのデザインを細々といじって見ました。

それがまあ時間が飛ぶようにすぎるほどおもしろくて！！

将来そっち方面にも足をつっこんでみたいなーとか思ったり。

ズブだけにズブッと。

part 1 はこちら

part 6 はこちら

連立方程式と高次方程式

問題

鶴亀算が紹介されていますね。童心に帰って解いていきます。

• 鶴と亀が合わせて５０匹
• 足の合計は140本
• 鶴と亀はそれぞれ何匹か求めよ

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連立方程式は、変数の数と式の数の関係が説明されています。これを体感的に学ぶために、３元１次連立方程式を解いていく、ということですね。

例１（３元１次連立方程式）

まずはふつうの計算問題。

次は文章題。

３元の連立方程式で文章題って、考えてみればあんまり解いたことなかったです。タコに帽子をかぶせたり、リードは一人一本の独自ルールを作ったりと、ユニークな問題ですね。

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これはわたし知りませんでした。

何らかの条件がついているような連立方程式では、変数の個数が式の個数より少なくても、解を求めることができる場合があることです。

なに――！？

その例が、例２なわけですね！！

例２（誕生日当てクイズ）

生まれた日の数を10倍して、それに生まれた月の数を加えてください。その結果を２倍したものに生まれた月の数を加えると、いくつになりますか。

この1つの式で、月と日付の2つの変数を導けるということですね。

せっかくなので、あなたの誕生日で考えてみてください。

ひとつの数字が出てきましたね。わたしの場合は87になりました。

さて、ここで質問をそのまま式に直すと、

という形になります。

ここで、あなたの出した数字を20で割って、その余りを考えます。

これは、yの係数が20なので、

• あなたの出した数字と
• 3x

どちらも20で割ると、同じ数になるようにするためです。

いくつになりましたでしょうか。わたしの場合は、出てきた数字が87なので7です。

さて、本書の表をご覧ください。

余りの数と誕生月が、１体１で対応していることがわかります。

わたしの場合は、余りが7なので、９月ということが一意的に決まります。ギクー！！（笑）

で、変数の１つが求まったので、あとは普通に、先ほどの式から方程式を解いていけばいいわけですね。

なな、何故わかった――！！！！（笑）

いやー驚きましたねー。新しい学びです。

ちなみにこれドラえもんの誕生日なんですけどね（笑）

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ここからは、一般の高次方程式についてです。

５次以上の方程式は解くことができないことを証明したのはアベールという人だったんですねー。わたしはいままでガロアだと思っていました。ガロアは、解ける方程式と解けない方程式の境界を、一歩踏み込んで論じたことが功績になっているのか。知らなかったなー。いずれこの辺りの数学史関連の本も読んでみたくなってきました。

この辺から、数学好きの方もわくわくしてくる内容かと思います！！

例３

ここでおもしろいのが、

こういった記法が使えるということです。確かにシンプルになりますねー。

さて、ここで２つの定理が紹介されています。どちらも証明とセットなのがナイスですね。

定理１（剰余定理）

x の数式 P(x) を x-a で割った余りを R とすれば R=P(a)

定理２（因数定理）

xの数式 P(x) に関して、 P(a)=0 が成り立つならば、 x-a は整式 P(x) の因数である。

因数定理は剰余定理の特殊バージョンって感じですね。

でもこれだけだと、わかったような〜わからないような〜って感じですよね。

ご安心ください！（笑）

例題があります！

例４（因数定理を用いた高次方程式の解放）

剰余定理の活用もやってみたかったところではあります。

本日の名言

実際のところ、剰余定理や因数定理は高次方程式を解くためというよりは、むしろ一般論を展開するときに大切なものであることを指摘しておきます。

一般論の展開に剰余定理を活用するパターンも見たい気もしますが、難易度高めなんでしょうね。

そういうレベルに耐えうる数字への強さを身につけるためにも、この辺の高校数学の範囲を当たり前のものに昇華させる必要があるのだと思います。

次回は集合と論理！！

生き抜くための高校数学: 高校数学の全範囲の基礎が完璧にわかる本

「2.3 集合と論理」までよんだらこちら